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| 采訪數學家V. I. Arnold
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| 时间：2006/03/04 出处：江湖论剑 |
弗拉基米爾. 阿諾德 Vladimir Igorevich Arnold，蘇聯/俄羅斯數學家，主要研究常微分方程与動力系
統。1982年獲首屆Crafoord獎，2001年獲Wolf獎。
對阿諾德的采訪中，阿諾德回憶了前蘇聯數學的發展，我們國家五、六十年代師
從俄羅斯，在很多地方都似曾相識。我們同時也看出俄羅斯數學家們強烈的民族自
豪感。阿諾德的口气很大，他對布爾巴基學派深惡痛絕。阿諾德還談到他對西方數
學教育的意見。在當前國內學術气氛极為浮躁的環境下，我覺得這篇訪談很值得一
讀。
『Lui』：能講一下在莫斯科大學(Moscow State University)學習時的情形嗎？你
能談談那些教授嗎，如彼特洛夫斯基(Petrovski)、柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)、龐
特里亞金(Pontriagin)、洛克林(Rokhlin)...?
『阿諾德』：
在“莫斯科數學的黃金年代”[1]一書中，對五十年代的Mechmat(莫斯科大學數學力
學系)有詳盡的記載，我當時是在校學生。這本書里有關于很多數學家的紀念文章，
我寫的一篇是回憶柯爾莫哥洛夫的，他是我的導師。這么多的大數學家云集在同一
個系里是很罕見的，當時我在系里念書，這种盛況我再也沒有在其他地方見到。你
想，柯爾莫哥洛夫、葛放(Gelfand，現在Rutgers，大師級人物)、彼特洛夫斯基、
龐特里亞金、諾維科夫(P. Novikov)、馬爾科夫(隨机過程的Markov Chain以他命名
)、Gelfond, Lusternik, Khinchin和亞歷山德羅夫(P. S. Alexandrov)在講台上，
下面聽課的學生中有Manin、Sinai、 諾維科夫(S. Novikov)、阿列克謝耶夫(V. M.
Alexeev)、安諾索夫(Anosov)、A. Kirillov和我。
這些大數學家們風格迥异！象柯爾莫哥洛夫，你几乎沒法在他的課上聽懂，但是他
講課時妙見層出不窮，令人受益极深。
柯爾莫哥洛夫對現在稱為漢密爾頓系統的KAM理論的研究始于他發給二年級本科生一
份規定作業。其中一個問題是關于非退化全可積系統的研究(如一個質點沿一個置于
水平的圓環曲面的環繞運動)。那個時候可沒有計算机用！他注意到這些經典範例中
的運動是准周期性的，他又試著找一些更复雜運動的例子(如“混合流”或用今天的
話講“混沌”)。
這個問題他沒找到解，這個難題至今仍無人解決--還沒有人能找到在普遍攝動系統
下，載有混合流的不變環。但是這個研究過程中的意外收獲卻比原來的混合流問題
重要得多。這包括持續非共振環(Persistent nonresonant tori)的發現，加速收斂
方法和相關的函數空間隱函數定理，大多數漢密爾頓系統中運動穩定性的証明(如螺
旋運動和平面軌跡)，以及Tokamak几何中磁曲面存在性的証明，該結果可應用于可
控熱核聚變的限制等离子体的研究。
研究中得到的一系列成果比原始問題更重要是一种普遍現象。哥倫布最初衹是想找
一條去印度的新路，結果意外的收獲是他發現了新大陸。
我在Mechmat念書時龐特里亞金已經身体很差了，但他大概是課講得最好的。他剛從
拓扑學轉向控制論，他的個性也大變。后來在收入“俄羅斯數學調查”期刊(Russian
Mathematical Surveys)的自傳中，他解釋了他轉向應用數學和反猶太觀(Antisemitic)的
原因。當他向編委交稿時，克格勃代表建議不要按原文出版，怕觀點太极端了。我
倒很想看到他的自傳以原文出版，現在你找到的都是加工潤色過的了。有人說他的
反猶太觀念可能僅僅出于他害怕自己有一部份猶太血統而怕萬一被人發現。
當然龐特里亞金也不是一直這樣的。他最好的學生V. A. 洛克林(Rokhlin)在二戰中
受傷被德軍俘虜，后來美軍解放了戰俘營，那時二戰還未結束，洛克林回到蘇聯軍
隊繼續參加戰斗。有一次他押送一名德國軍官去上級机關，他遇到一個喝醉的克格
勃特工，那個克格勃要把德國軍官就地槍決，他堅決反對。所幸他的上級幫了他忙
[注：大概克格勃是惹不起的吧]，把他調到另外一支部隊去了。但最終洛克林和其
他由盟軍從德國戰俘營解放出來的蘇軍士兵一樣，都被送到蘇聯北部的Gulag(勞改
營)。
几個月后，一個勞改營里放出來的人到莫斯科告訴龐特里亞金說洛克林還活著但己
餓得奄奄一息。龐特里亞金在柯爾莫哥洛夫、亞歷山德羅夫和其他數學家的幫助下，
寫信給克格勃頭子貝利亞，要求立即釋放洛克林，因為洛克林是他那代人中最有天
賦的數學家。貝利亞發了道命令釋放了洛克林，當局發給洛克林沖鋒槍讓他繼續當
兵，他在勞改營里從勞改犯變成當警衛。龐特里亞金和其他數學家再次給貝利亞寫
信，終于洛克林得以回到莫斯科。但洛克林從勞改營回來后沒有莫斯科的“propiska"(
“propiska"是俄語，意即在某個特定地區居住的權利，在蘇聯，居民不能隨便遷居
他地，每個人都必須要有“propiska"！)[注：這一定是“戶口”了，西方人沒領教
過，所以原文加了解釋，我們一看就知道。遺憾的是，直至今日，在中國，每個人
仍然要有戶口。]
龐特里亞金當時已經全盲了，有權在莫斯科Steklov研究院雇一個祕書。他极為勇敢
地把這個位子給了洛克林，洛克林后來成了蘇聯在拓扑學和動力系統領域的頂尖數
學家之一。洛克林對低他一輩的數學家有很大的影響(如S. 諾維科夫、Sinai、安諾
索夫和我)并其后在圣彼得堡創建了非常重要的數學研究所。他帶過的學生有Vershik,
Gromov, Eliashberg, Viro, Shustin, Turaev和Kharlamov。60年代他在莫斯科舉
辦學術講座時我見過他，他當時從离莫斯科一百多公里遠的戶口所在地赶來。
洛克林是猶太裔，他在德國戰俘營假裝自己是穆斯林而得以幸存。他出生于阿塞拜
疆的巴庫。對龐特里亞金來說，為幫助洛克林而去找貝利亞是冒了极大風險的。即
使在龐特里亞金成了反猶太人的積极分子以后，他對洛克林評价依舊很高。
我和龐特里亞金的私交很好。他邀請我去他家做客、參加他的學術講座，他對我的
研究，特別是奇點理論(Singularity Theory)很感興趣。部份原因是我們都對微分
拓扑、控制論和博弈論有共同的興趣，還一個重要的原因，他想在國際會議上指摘
我的不是。龐特里亞金是當時蘇聯在國際數學會(IMU：International Mathematical
Union)的代表，他极力阻撓國際數學會選舉任何蘇聯的不同政見學者(我在黑名單上，
因為我和其他99位數學家聯合簽名寫信，抗議當局把健康的數學家送進精神病院，
這也是當局清除异議分子的一貫手段)。國際數學會一向很“政治化”，所以他一直
能得逞。在他的回憶錄中，他提及國際數學會中很有一些人和他一樣愛整人，我真
希望我能知道這幫人的名字。實在巧合的是，我現在正擔任他當年的職位，是俄羅
斯在國際數學會的代表。
彼特洛夫斯基當時是校長，他常在學術講座前与洛克林在電梯里懈逅。我覺得他被
人看見和洛克林在一起是挺危險的。彼特洛夫斯基當時已淡出學術，但是他在對莫
斯科數學界是极為重要的，他總是為了支持真正的數學家們而与共產党官僚們進行
艱難的抗爭。
彼特洛夫斯基在實代數几何(与希爾伯特第16問題相關)的成果(1933和1938)幵創了
現代數學的一個重要分支--實代數變体的拓扑學。他的理論成果(例如，以方程的階
數來表示Betti數的估計)應用于在很多其他分支包括复雜性理論。例如Khovanskii用
之于fewnomial理論，斯邁爾(Smale)運用在“real P-NP"問題上等等。在西方學術
界，這些結果通常屬于托姆(Thom)和米爾諾(Milnor)(1965)，而彼特洛夫斯基和他
的學生Oleinik發表于40年代的論文則給出了一個更好的估計(要指出的是，托姆和
米爾諾引用了這篇文章)。這种現象后來也見怪不怪了，忽略引用俄羅斯的基本結論
的論文對現代社會的求職者來說簡直太容易了。
[注：意指一些西方學者剽竊不廣為人知的俄羅斯論文結果以求名利]
大多數共產党員都不知道， 彼特洛夫斯基從來都不是党員。他影響力很大，部份原
因是他和以前的學生私交很好，他的不少學生畢業后逐漸在蘇聯的官僚系統里身居
高位。彼特洛夫斯基還被選為最高蘇維埃主席團成員。一天他去党中央委員會大樓
幵會，會上他為了支持基礎科學研究而与官僚當局激烈爭吵，臨走時他心臟病發作
倒在大樓門口。他彌留人間的最后一句話是：“我贏了”。
在彼特洛夫斯基去世后，共產党和克格勃費了20年的力气來摧毀他在Mechmat建立的
數學中心。當局停止聘用优秀的人才擔任教職，到今天他們也差不多終于毀掉了這
個中心。[2]
『Lui』：能談一下你怎么教本科生和帶研究生的嗎，你有多少學生在俄羅斯和在法
國？
『阿諾德』：在我名下通過論文答辨的博士有40個左右。我沒有准确的數目，原因
有好几個。在“壓抑”的年代，學校不准我在莫斯科大學帶留學生因為我不是党員。
留學生跟我作研究，但名義上的導師是一些友好的党員，他們還因此拿津貼。有些
研究生有自己的導師，但他們作的論文是在我的學術講座上討論的課題，因此實際
上成了我的學生，比如S. M. Gusein-Zade, Yu. Illiashenko和A. I. Neistadt。
現在我在莫斯科有兩個本科生和三個研究生，在巴黎有四個研究生。有還有兩三個
從一月份幵始。
我從學生那里學到很多東西，特別是本科生。[注：是自謙還是那本科生像他當年一
樣厲害？] 我從來不給學生指定課題，那簡直象包辦婚姻一樣。我衹是告訴他們那
些是已解決的那些還是未知的。
我在莫斯科的學術講座大約有三十位數學家參加，多數是我以前的研究生，但也一
直有其他人，即使我在國外講座也照常舉行。這個講座延續了大概30年了，不同時
代的參加者有Ya. Sinai, 阿列克謝耶夫, 諾維科夫(S. Novikov), M. Kontsevich,
A. Goncharov, D. B. Fuchs, G. Tjurina, A. Tjurin等。
在莫斯科生活是很艱難的，多數學生除了作研究外還不得不想辦法掙錢謀生。有的
自己幵公司作生意。莫斯科犯罪率很高。自己幵公司作生意還有性命之虞。我在莫
斯科的一個學生剛剛作完論文但還沒來得及答辨，几周前失蹤了。我們深為他的生
死擔憂。[3]
『Lui』：你有崇拜的數學人物嗎？
『阿諾德』
我想是巴魯(Barrow)、牛頓(他卻是一個并不可愛的人物，見我寫的“惠更斯与巴謨，
牛頓与胡克(Hooke)”， 1990 Birkhauser出版)、黎曼、龐加萊、明科夫斯基、維
爾(Weyl)、柯爾莫哥洛夫、惠特尼、托姆、斯邁爾和米爾諾。有一半的數學家是我
從克萊因(F. Klein)的“19世紀數學發展講義”(“Lectures on the Development
of Mathematics in the 19th Century”)一書中看來的。我從許多數學家那里學到
很多，比如葛放、洛克林、諾維科夫、P. Delingne和Fuchs，以及從我的學生那里，
比如Khovanskii, Nekhoroshev, Varchenko, Zakaljukin, Vassiliev, Givental,
Goryunov, O. Scherbak, Chekanov和Kazarian.
我要深深地感謝托姆，我直到1965年都經常參加他在Institut des Hautes Etudes
Scientifiques舉辦的奇點理論學術講座，這個講座深刻地改變了我的數學觀。托姆
討論數學的方式始終是賞心悅目的，他從來都用明顯沒有嚴格邏輯意義的句子。我
當時一直不能把自己從邏輯的枷鎖中解放出來。我當時夢想著沒有實在意義的不可
靠的數學推想，我一直被這個夢毒害。“一個人總能找到些蠢伙去証明定理”，這
句話，托姆的學生說，是了他的信條。
1961年米爾諾在列宁格勒關于球体的微分結构的學術演講給我的導師柯爾莫哥洛夫
留下了极深的印象。他因而建議我把它排入我的研究生的講課提綱中。這逼得我向
諾維科夫、Fuchs和洛克林去學習微分拓扑。這個時机倒巧了，一年后，我是諾維科
夫關于球体的微分結构的論文答辨委員會委員。
1961年斯邁爾來莫斯科訪問，他是我遇到的第一位外國數學家。他對俄羅斯關于動
力系統研究的影響以及對我個人的影響都是极大的。
『Lui』：你注意到來自不同文化的數學家作數學研究的不同之處嗎？
『阿諾德』 多年來我沒有意識到這些差异，但差异确實存在。几年前我參加了在華
盛頓召幵的國際科學基金會(ISF：International Science Foundation)會議，這個
組織向俄羅斯科學家提供資金。一位美國与會者建議應支持一些俄羅斯數學家因為
他們是“以美式風格作研究”。我大惑不解地問他為什么。“Well,”這位美國人說，
“這是指(數學家)四處旅行，在各個學術會議上宣講他的最新結果并且讓這一領域
的專家們都知道他。” 我的意見是ISF更應該支持那些以俄羅斯風格作研究的數學
家，這种風格是坐在家里刻苦研究，尋求基本定理的証明，這些定理將是數學永恆
的里程碑！
俄羅斯的工資(過去、現在)太低了，所以一個人去研究數學就意味著他把數學當成
一种目標而不是掙錢的手段。在西方數學界，至今還是可以靠重寫(或用現代術語改
寫)不為西方熟悉的俄羅斯克格勃數學著作或觀點而獲取名利。
俄羅斯人對知識、科學和數學的態度一直保持著俄語“Intelligentsiya"的古老傳
統。這個詞是其他語言中沒有的，因為沒有其他國家有一個類似的由學者、醫生、
藝術家、教師等組成的階層，他們永遠把為社會作貢獻為先，個人名利在后。[注：
我們古文中也有“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”這樣的詩文]
我的好友Vershik最近去美國駐巴黎大使館辦簽証。簽証官問：“你在圣彼得堡的薪
水是多少？”聽到他說的真實數字后，簽証官又問，“你覺得，拿這點薪水，你能
說服我們你會回圣彼得堡嗎？”Vershik答到：“當然，錢又算什么！”[注：原文
為"Of course, Money is not all!"]簽証官大為震惊，Vershik隨即拿到了簽証。
我正好在一周前申請簽証，他們要我等上長達三周。原因是我的論文要在華盛頓審
查因為我被當成“驢子”。我問為什么，“Well”，他們答道，“我們給各种犯罪
起了名字：貓、狗、老虎、駱駝等等。”他們還給我看那名單，“驢子”是對俄羅
斯科學家的別稱。
俄羅斯數學傳統的另一特點是傾向于全面地把數學看成一個充滿活力的有机体。西
方學界有可能一個人衹是數學上某一方面的專家，而對相鄰分支一無所知。 一個學
者涉獵較廣在西方學界被看成一大缺點，而恰恰在俄羅斯一個學者研究領域太窄被
看成同樣程度的不足。
法國數學几個世紀以來一直是很輝煌的，可惜深邃的研究到Leray, 亨利. 卡丹(H.
Cartan，陳省身教授30年代曾在卡丹指導下從師微分几何研究), Serre, Thom 和Cerf為
止。布爾巴基學派(Bourbakists)聲稱所有偉大的數學家，用狄利克萊(Dirichlet)的
話來講，是“用清晰的觀點代替盲目的計算”。布爾巴基宣言中有這句話，翻譯成
俄語變成了“用盲目的計算代替清晰的觀點”。譯審柯爾莫哥洛夫精通法語，我發
現了這一錯誤后大吃一惊，去找柯爾莫哥洛夫討論，他答道：我不覺得翻譯有什么
錯，翻譯把布爾巴基風格描述得比他們自己說的更准确。遺憾的是，龐加萊(Poincare)
沒在法國留下學校。
法國學術界狹隘觀念的一個典型例子是法國國家科學院的最近一場討論。Gromov多
年來是外籍院士，但他最近加入了法國國籍因此不再是外籍院士。問題是要把他轉
成一般的院士。法國數學家們卻對此反對，說“這些位置是給真正法國人的！”。
按我的看法，所有的“真正法國人”候選院士和Gromov相比，根本不是同一個檔次
的，Gromov是世界頂尖數學家之一。最后，Gromov還是沒當上院士。[4]
因為布爾巴基學派對學生公式化的訓練，所以在法國教學很困難。比如，在Paris-Dauphine
一次四年級學生的動力系統書面考試中，一個題目是給定初始點，當時間趨于無窮時，
求一漢密爾頓方程系統在相平面解的极限。思路是把初始點選在一鞍點的分离線[注：
separatrix]，极限就是鞍點。
准備考題時，我犯了一個計算錯誤，相曲線(含初始點的能量級曲線)變成了一個閉
合橢圓而不是一條分离線。學生們解出相曲線為閉合橢圓，因而得出結論：存在有
限的時間，系統解返回到初始點。運用unicity定理，他們繼而得出對任何整數n，
系統解的值在nT時間后仍為初始點。由此得出結論：因為時間趨于無窮大的极限与
時間趨于無窮大時任意子序列的极限相等，所以极限值為初始點。這個答案是坐在
考試大廳里不同位置的几個好學生各自獨立解出來的。從邏輯推算上，答案無懈可
擊。這是一個正确的推算，也能用計算机算出相同結果。但顯然，解題者根本什么
都不懂。可以想象布爾巴基學派對學生的壓力之大有多么的可怕，以至于把顯然并
不笨的學生變成了推算机器！這种公式化的教育對實際問題是毫無用處的甚至是危
險的，會導致切爾諾貝利那樣的災難[5]。糟糕的是，這种公式化的教育正在很多國
家蔓延，受其影響下的數學前景不容樂觀。[6]
美國則面臨另一种危險。沒有一個俄羅斯教授能答對GRE中的題目：在以下各對中選
擇一個最接近(angle, degree)的答案：
A) (time, hour) B) (area, square inch) C) (milk, quart)
每一個美國人都能答對，標准答案是這樣解釋的：degree是角度的最小單位。square
inch是面積的最小單位，而小時下有分和秒，1quart = 2pints。我一直很奇怪怎么
可能會有這么多的美國人克服了如此的困難而成為大數學家的。紐約的一位物理學
家說他了解這些出題者的愚蠢程度因此他能答對這題。
H. 惠特尼曾告訴我，在一次對14歲的美國學生的全國測驗中，對80的120%是大于、
小于還是等于80這個問題答對的衹有30%。搞測驗的人認為這表明有30%的學生懂百
分比。惠特尼向我解釋說，考慮到總体樣本，真正掌握百分比的人數其實是可怜到
可以忽略不計的。因為有三种可能的答案，猜對的統計預測是33%，加上5%的誤差。
[7]
最近，美國國家科學院決定美國的科學教育一定要提高。他們建議把現有課程中難
度過高的一些不必要的部份刪掉，代之以确确實實根本的、基礎的知識，比如所有
的物体都有屬性，所有的生命都有天性！(見Nature 372：5606 1994年12月8日)無
庸置疑，他們還會做得更過頭！兩年前，我在“今日美國”報上讀到美國父母為孩
子在每個年齡段幵列了必須掌握的知識的項目。10歲時他們要知道水有兩种狀態，
15歲時了解月亮有不同的相位、月亮繞地球轉。在俄羅斯我們在幼兒園就教水有三
態[注：原文為primary shcool，有時亦可指Kindergarten，我相信阿諾德在這里指
幼兒園]，但是新興的美式文化無疑會在短期內取胜。不過美國的自由系統的一大优
越性是一個高中學生可以學，比方說，爵士樂歷史而不用學代數。
在惠特尼去世前几個月，他在普林斯頓高等研究院，依然在學術上很活躍。他告訴
我他學數學的故事。他在耶魯大學上本科時主修小提琴，兩年后他被選送到歐洲最
好的音樂中心學習。可惜我忘了是哪個城市，肯定离阿爾卑斯山不遠，因為他還是
個登山家。在那里，一個學生一定要修一門不同的專業并通過考試。惠特尼問他的
同學哪個專業比較熱門，答曰“量子力學”。于是在他的第一節量子力學課后，他
這么問那位著名的授課老師(玻里？薛定鍔或是Sommerfeld?)“親愛的教授先生，好
像你講的課有點不對勁兒，我是耶魯的优等生，可你的課我還是一個字也聽不懂。”
講課老師聽惠特尼說他是音樂專業的，禮貌地回答說：“那是你需要些背景知識，
如微積分和線性代數。”惠特尼說：“那好，我希望這兩門課沒你的課那么先進，
應該有人寫過一些教科書吧。”講課老師指點了几本教材名稱給惠特尼。惠特尼對
我說：“三個月后，我能聽懂他的課了，學期末我把專業從音樂轉到數學。”
柯爾莫哥洛夫起初也不是學數學，他學的是歷史。他17歲時作出第一篇論文，在莫
斯科大學Bakhrushin的學術講座上宣講。柯爾莫哥洛夫基于中世紀Novgorod的稅收
記錄分析得出一些結論。講完后柯爾莫哥洛夫問Bakhrushin是否同意他的結論。
“年輕人，”教授說，“在歷史學，你至少需要五個証明才能得出任何結論。”第
二天，柯爾莫哥洛夫就轉到了數學系。在他去世后，這篇論文從檔案中被找出來出
版，歷史學家認為他的結論是對的。
『Lui』：能談一下關于純數學和應用數學的看法嗎？
『阿諾德』 按Louis Pasteur的觀點，根本不存在應用科學，确切地講存在的是科
學的應用實例。純數學家和理論物理學家常常認為應用數學家是沒有能力取得重要
科學成就的思維弱者或是對錢比數學更感興趣的人。我認為絕對不能這么看待應用
數學界。見我的文章“應用數學的歉意”(“Apology of applied mathematics”
in “Russian Mathematical Surveys”, 1996)。該文總結了我在1995年7月在漢堡
國際工業与應用數學會的幵幕式上的演講。我認為兩者主要是社會性的，而非科學
性的區別。純數學家的職業是尋求數學的新發現，應用數學家的職業是解決實際問
題。
當哥倫布揚帆啟程時，他象一個應用數學家，去解決一個具体難題：找一條去印度
的路。新大陸的發現可以比作為純數學家的貢獻。我不認為迦利略(他立即以美式的
商業化風格利用其成果)不如，比方說，純粹的思想家帕斯卡。真正的危險不在于應
用數學本身，而在于由公式化的數學和數學教育(這簡直是罪行)引起的純數學和應
用數學的分家。公理推理的希爾伯特-布爾巴基風格對數學的闡釋在20世紀前50年占
主導地位，幸運的是現在讓位于龐加萊風格几何數學的統一潮流，這种風格才能把
深刻的理論內涵与實際世界的應用問題結合起來。[8]
另一方面，最近我讀的一本美國書中說，几何是一种不會在冗長計算中犯錯誤的藝
術，我認為這絕對是對几何的低估。
人腦有兩個半球：一個負責多項式的計算和語言﹔另一個負責空間圖形的方向及所
有實際世界中的事情。數學則是當你真正發揮兩個半球作用時的几何，見“The geometry
of xxxxulae” by Khovanskii “Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math. Phys. Rev.”
v4 (1984)。 |
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